و یافتن جواب دستگاه معادلات خطی (۳-۴۵) منجر می گردد.
۳-۳-۷- روش های تبدیلی در یافتن مقادیر ویژه
در این روش ها با بهره گرفتن از تبدیلات متشابه، ماتریسی با مقادیر ویژه یکسان با ماتریس اولیه اما با فرم ساده تر بدست می آید و سپس مقادیر ویژه و بردارهای ویژه با بهره گرفتن از ماتریس جدید محاسبه می شوند زیرا محاسبه آنها با بهره گرفتن از ماتریس بدست آمده که فرم خاصی دارد (مثلاً قطری یا سه قطری و …) به مراتب ساده است. ماتریس های تبدیلی که بکار می روند، ماتریس های متعامد هستند، زیرا چنین ماتریس هایی برای می نیمم کردن خطای فرایند مناسب ترین هستند. در این بخش سه روش مهم از روش های تبدیلی را مورد بحث قرار می دهیم.

۳-۳-۷-۱- روش ژاکوبی
فرض کنید A یک ماتریس متقارن و از مرتبه  باشد. ساده ترین فرمی که می توانA را به آن تبدیل نمود، فرم قطری است، زیرا در این صورت مقادیر ویژه اعضای قطری بوده و مستقیماً در دسترس خواهند بود. روش ژاکوبی جهت تبدیل ماتریس A به یک فرم قطری بوسیله حذف عناصر غیرقطری طراحی شده است. این روش یک فرایند تکراری است و به تعداد نامتناهی مرحله نیاز دارد. در هر مرحله بوسیله یک ماتریس متعامد، یک صفر غیرقطری در A تولید می شود. متأسفانه در این روش با تولید هر صفر جدید، معمولاً عنصر غیر صفری در محل صفر قبلی ایجاد می شود. روش ژاکوبی با صفر نمودن بزرگترین عنصر غیر قطری از نظر قدر مطلق در هر مرحله ادامه می یابد و هنگامی که تمام عناصر غیرقطری از نظر قدر مطلق از عدد کوچک مشخصی کمتر باشند، عملیات خاتمه پذیرفته و اعضای قطر اصلی بعنوان مقادیر ویژه تلقی می گردند. حال به بررسی چگونگی مراحل این روش می پردازیم.
در بالا دیدیم که ماتریس متعامد P موجود است بقسمی که  که در آن D یک مـاتریس قطـری است و اعضای روی قطر آن را مقادیر ویژه A تشکیل می دهند. در روش ژاکوبی ما بدنبال یافتن دنباله  از ماتریس های متعاامد ب خاصیت زیر هستیم:

و از نماد  استفاده می کنیم. (بعبارت دیگر  و  ) واضح است که  با  متشابه بوده و در نتیجه دارای مقادیر ویژه یکسان هستند. برای نمایش اعضای  از نماد  و برای اعضای  از  استفاده می کنیم.
در روش ژاکوبی با بهره گرفتن از ماتریس های متعامد سعی در صفر نمودن عناصر غیرقطری ماتریس  داریم. فرض کنید ماتریس  را محاسبه کرده ایم و می خواهیم عنصری از این مـاتـریـس مـانند  را که بزرگتـریـن عنصر غیر قطـری است صفر کنیم. به بیان دیگـر می خواهیم ماتریس  عنصر  صفر گردد. ماتریس  را بصورت زیر تعریف می کنیم:

ماتریس  یک ماتریس متعامد است و ماتریس دوران نامیده می شود که در آن  بگونه ای انتخاب می گردد که در مرحله بعد  . و این انتخاب بصورت زیر است:

زاویه  طوری انتخاب می گردد که  . در واقع  یک ماتریس همانی از مرتبه  است که در آن عناصر  تغییر یافته اند. فرم کلی  بصورت زیر است: