تاریخچه
در کارهایی که تا به حال دیده شده است، نیروی کنترلی را با نیروی تولیدکننده­ی حرکت خطی ارابه معادل می­گیرند. بنابراین کنترل­ کننده در حرکت ارابه و در نتیجه سرعت جا به ­جایی بار تاثیر منفی خواهد داشت. هم­چنین اکثر این کنترل­ کننده­ها حلقه باز^[۱۴] بوده و در نتیجه در مقابل نامعینی و اغتشاش حساس می­باشند. در بسیاری از موارد در آن­ها از شکل­دهی ورودی^[۱۵] استفاده شده است که یک کنترل­ کننده­ حلقه باز می­باشد. نکته­ی آخر در طراحی چنین کنترل­ کننده­هایی ضرورت انجام طراحی مسیر می­باشد. در [۱]، یک کنترل­ کننده­ نیروی فعال^[۱۶] را برای جرثقیل­های ستون­دار طراحی کرده ­اند. این کنترل­ کننده دقیقاً روی نیروی حرکت دهنده ارابه پیاده شده است. با این حال، در [۱] ادعا شده است که کنترل­ کننده در مقابل اغتشاشات عملکرد مقاومی^[۱۷] از خود نشان می­دهد. در [۲]، برای مدل خطی جرثقیل­های حامل کانتینر یک کنترل­ کننده­ بهینه­ خطی ساخته شده است. هم­چنین این کنترل­ کننده را عملاً با کمک حس­گرهای^[۱۸] مناسب پیاده­سازی نموده ­اند. برای تشخیص جا به ­جایی تخته پخش­کننده از پردازش تصویر^[۱۹] با کمک دوربینی تعبیه شده در قسمت تحتانی ارابه و نشان­گرهایی بالای تخته­ی پخش­کننده استفاده شده است. برای تشخیص مکان و سرعت ارابه هم به ترتیب از کدکننده^[۲۰] و تولیدکننده­ی تاکو^[۲۱] استفاده شده است. به طور طبیعی خطی بودن مدل و کنترل­ کننده­ بهینه خواص غیرخطی سیستم را حفظ نمی­کند؛ همچنین در این کار، راه حلی برای جداکردن کنترل­ کننده از ارابه ارائه نشده است. در[۳]، یک مدل غیرخطی را به کمک شبکه عصبی^[۲۲] کنترل بهینه نموده ­اند. در [۴]، یک کنترل­ کننده­ غیرخطی بر مبنای خطی­سازی پس­خورد^[۲۳] برای جرثقیل­های حامل کانتینر طراحی شده است. به علاوه در این کار عمل بالاکشیدن نیز منظور شده است. یکی از مشکلات عمده­ی استفاده از این مدل­ها، عدم توانایی آن­ها در بیان انحراف پیچشی^[۲۴] بار می­باشد. این حرکات پیچشی بر اثر بار به مقدار کمی به ­وجود می­آیند. علاوه بر این، بنا به دلایلی چون عدم برابری طول جفت کابل­های چپ و راست، باد و عدم تعادل در بار موجود در کانتینر تشدید می­شوند. بنابراین، علاوه بر کنترل تاب خوردن­ها باید این پیچش­ها را نیز کنترل نمود. در [۵]، دو راه برای کنترل این­گونه از پیچش­ها پیشنهاد شده است:

کنترل مستقل جفت طناب­های چپ و راست یا بالاکشیدن و پایین­آوردن هر یک از آن­ها که اگر چه حرکت پیچشی را کنترل می­ کند، خود می ­تواند در تشدید تاب­خوردن­ها تاثیر منفی بگذارد.
حرکت هر یک از دو جفت کابل، توسط دو واگن تعبیه شده در ارابه، در جهت مخالف یکدیگر روی محور x با نیرویی برابر و مخالف یکدیگر به­طوریکه منجر به تولید یک گشتاور بشود. این گشتاور همان کنترل­ کننده­ حرکات پیچشی خواهد بود. نحوه­ پیاده­سازی چنین کنترل­ کننده ­ای در شکل‏۱‑۲ آورده شده است.
به منظور رفع مشکل تاثیر کنترل­ کننده بر روی حرکت ارابه می­توان از عملکرد بالاکشیدن به عنوان کنترل­ کننده استفاده کرد [۶]. بدین صورت که با تغییر طول طناب یک نیروی کجی^[۲۵] تولید می­ شود. به این ترتیب تاب خوردن را می­توان با آن نیروی کج کنترل نمود. مشکلات این کار در پیچیدگی و دشواری مدل­سازی می­باشد. علاوه بر این وظیفه تغییر طول کابل با راننده­ی جرثقیل خواهد بود. بنابراین از زمان فرمان تغییر طول کابل توسط راننده تا شکل­ گیری این تغییر طول زمانی طول خواهد کشید. در نتیجه نیاز به طراحی کنترل­ کننده­ با پس­خورد تاخیردار^[۲۶] می­باشد.
شکل‏۱‑۲-طرح پیشنهادی در [۵] برای کنترل حرکات پیچشی توسط دو واگن
این کنترل­ کننده­ها به دلیل پس­خوردبودن در مقابل نامعینی و اغتشاشات مقاوم هستند. به منظور حفظ خواص غیرخطی سیستم، طراحی کنترل­ کننده­ های غیرخطی مطلوب می­باشد که طراحی این کنترل­ کننده­ها برای سیستم­های تاخیردار در [۷] نیز انجام شده است. راه کاری دیگر که برای جداکردن کنترل­ کننده از ارابه در نظر گرفته شده است؛ به این صورت می­باشد که در بالای تخته­ی پخش­کننده­ یک موتور به همراه دمپر و فنر قرار داده شده است [۸]. این کار در مدل دو بعدی انجام شده است و به نظر می­رسد که رای مدل سه بعدی که دارای چهار کابل می­باشد پیاده­سازی چنین کنترل­ کننده ­ای بسیار دشوار باشد. شکل‏۱‑۳ طرح ارائه شده توسط کیم^[۲۷] را برای پیاده­سازی چنین کنترل­ کننده ­ای، نشان می­دهد [۸]. کیم در این حالت از بررسی دینامیک ارابه، که دیگر به کنترل­ کننده ربطی ندارد، چشم­پوشی کرده است. او پیشنهاد داده است که حرکت ارابه را به چشم اغتشاش باید دید.
در مورد روش­های مختلف مدل­سازی این دسته از جرثقیل­ها، باید گفت که از روش­های مختلفی بدین منظور استفاده شده است. در [۹]، پیشنهاد شده است که این جرثقیل­ها را به صورت ربات­های موازی^[۲۸] مدل­سازی کنند؛ تا آن آزادی عمل بیشتر در حرکت آن­ها نشان داده بشوند. متاسفانه در این کار تنها به شبیه­سازی اکتفا شده است و وارد بحث کنترل این مدلها نشده است.
شکل‏۱‑۳-مدل پیشنهادی کنترل تاب خوردن در[۸]
به طور کلی مدل­سازی جرثقیل­ها از دو طریق جرم توزیعی^[۲۹] و توده­ای^[۳۰] انجام می­ شود [۱۰]. در حالت اول، مدل سیستم به صورت معادلات ۳ دیفرانسیل با مشتقات جزیی^[۳۱] بیان می­ شود. دِ آندره ناول^[۳۲] برای اولین بارچنین مدل­سازی را بر روی جرثقیل­ها انجام داد. به­طوریکه کابل را به صورت یک جرم توزیعی، با شرایط مرزی بار^[۳۳] و قلاب به عنوان یک جرم توده­ای، در نظر گرفت. متاسفانه، به دلیل استفاده از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی، کنترل این دسته از مدل­ها دشوار خواهد شد. نوع دیگری که بیشتر مورد استفاده قرار می­گیرد؛ بر مبنای این است که کابل هیچ­گونه وزنی ندارد. در نتیجه معادلات دیفرانسیل معمولی^[۳۴] برای بیان این دسته از مدل­ها کافی خواهد بود. مدل توده­ای خود نیز به دو نوع کاهش ­یافته^[۳۵] و توسعه ­یافته^[۳۶] تقسیم ­بندی می­ شود. اغلب در کارهای انجام شده تاکنون برای مدل­سازی جرثقیل­های حامل کانتینر از مدل­­های کاهش ­یافته استفاده می­ شود. عدم رعایت دینامیک ساختمان جرثقیل و در نظرگرفتن جرثقیل به عنوان ساختاری بدون انعطاف­پذیری در مدل­سازی؛ منجر به افزایش فرکانس ارتعاشات خواهد شد. بنابراین در مدل­های کاهش ­یافته بررسی کنترل­ کننده­ جرثقیل با مقادیر واقعی ممکن نبوده و تنها با مقادیر آزمایشگاهی می­توان کنترل­ کننده­ های طراحی شده را بررسی نمود [۱۱]. در صورت فرض کردن مدل به صورت یک پاندول ساده، مدل را مدل کاهش ­یافته و در صورت در نظر گرفتن ساختمان جرثقیل در دینامیک سیستم، مدل را مدل توسعه ­یافته می­نامند. در کارهای انجام­شده معمولاً از مدل­کردن موتور صرف­نظر شده است. در [۱۲]، با مدل­کردن موتور حرکت­دهنده ارابه؛ مدلی الکترومکانیکی^[۳۷] برای کنترل جرثقیل بر مبنای اعمال نیروی ورودی بر ارابه، ارائه شده است. با این حال تنها به شیبه­سازی اکتفا شده است و در مورد طراحی کنترل­ کننده کاری انجام نشده است.
رویکرد به مسئله
تا به حال کنترل­ کننده­ های طراحی­شده حرکت ارابه را کنترل می­نمودند. حتی اگر این کنترل­ کننده­ها به­ صورت کاملاً بهینه طراحی می­شدند؛ باز هم باید در جاهایی از سرعت حرکت ارابه می­­کاهیدند. علاوه بر این، رانندگان ماهر جرثقیل­های حامل کانتینر معمولاً این کنترل­ کننده­ها را خاموش می­ کنند. از آن­جا که کنترل­ کننده ممکن است در حرکت ارابه دخالت کند؛ بعضی مواقع بار را به نقطه­ای غیر از نقطه­ی مقصد هدایت می­ کند [۱۳]. این تداخل در کار، باعث عدم اطمینان رانندگان ماهر به این کنترل­ کننده­ها شده است. دکتر خواجه­پور^[۳۸] [۱۴] در دانشگاه واترلو^[۳۹] پیشنهاد داد که کنترل­ کننده را در بالای کانتینر قرار دهند. در نتیجه کنترل­ کننده به صورت کامل از حرکت ارابه مستقل خواهد شد. او این کار را با افزودن یک درجه­ آزادی پیشنهاد داد. افزایش این درجه آزادی با قراردادن یک صفحه­ی لغزنده بین کابین و سکوی آن شکل می­گیرد. شکل ‏۱‑۴ ساختار کنترلی پیشنهادی در [۱۴] را نشان می­دهد. با توجه به شکل، موتور تعبیه­شده در صفحه­ی لغزنده باعث جا به ­جایی آن و در نتیجه کاهش تاب­خوردن­های آن خواهد شد.
شکل ‏۱‑۴- مدل ارائه شده صفحه لغزنده در[۱۴]
با این کار طراحی کنترل­ کننده را نیز ساده­ترمی­کنیم. زیرا با توجه به جدایی کنترل­ کننده از حرکت ارابه، دیگر نیازی به تولید یک مسیر بهینه^[۴۰] در مسئله نخواهیم داشت.
اغلب کنترل­ کننده­ های خطی برای این مدل طراحی شده است، در [۱۵] آقای ماهروئیان در دانشگاه صنعتی خواجه­نصرالدین­طوسی طراحی یک کنترل­ کننده­ غیرخطی بهینه برای این دسته از مدل­ها را انجام داده است؛ اما از اغتشاش باد^[۴۱]، که یکی از مهمترین اغتشاشهایی است که اغلب بر روی جرثقیل­های حامل کانتینر تاثیر منفی می­ گذارد، صرف نظر نموده ­اند. در این کار علاوه بر مواردی که در [۱۵] در نظر گرفته شده، اغتشاش باد نیز به سیستم اعمال می­ شود که برای کاهش اثر آن نیاز به کنترل­ کننده­ جدید و پیشرفته­تری نیاز می­باشد.
ساختار پایان نامه
در فصل دوم مدل جرثقیل حامل کانتینری که در این پایان نامه مد نظر ماست را تشریح می­کنیم و سپس معادلات حاکم بر آن را به­دست می­آوریم، در ادامه مدل مناسبی را برای اغتشاش باد معرفی می­نماییم و سپس عملکرد سیستم به صورت حلقه باز در حضور اغتشاش را مشاهده می­کنیم و در انتها ضرورت اعمال کنترل­ کننده را بر روی سیستم بررسی خواهیم کرد. در فصل سوم ابتدا به معرفی کنترل­ کننده­ های (SDRE) به عنوان توسعه یافته کنترل­ کننده­ خطی بهینه (LQR) به طوری­که معادلات ریکاتی در آن وابسته به حالت می­باشند وقتی که به سیستم اغتشاش وارد می­ شود، می­پردازیم. پس از آن مروری بر تاریخچه­ استفاده از این کنترل­ کننده­ها، به روش­های مختلف طراحی این کنترل­ کننده­ها، شرایط خاص و سایر نکات مربوط به آن می­پردازیم. در فصل چهارم پس از طراحی کنترل­ کننده مناسب برای سیستم مورد نظر، بر اساس مطالب گفته در فصل سوم، عملکرد سیستم را با اعمال کنترل­ کننده مشاهده می­کنیم و نتایج به­دست آمده را با روش کنترل­ کننده­ خطی مقایسه می­کنیم. در فصل پنجم به ارائه پیشنهادات برای ادامه کار در این زمینه می­پردازیم.
فصل دوم: مدل­سازی و شبیه­سازی جرثقیل­های حامل کانتینر در حضور اغتشاش باد
مقدمه
در این فصل، ابتدا به معرفی مقدماتی در مورد مدل­سازی سیستم­های مکانیکی می­پردازیم. سپس، مدلسازی مورد استفاده در این کار را به صورت کامل برای جرثقیل­های حامل کانتینر بیان می­نماییم ودر ادامه نیز یک مدل­ مناسب برای اغتشاش باد معرفی می­کنیم. در انتهای فصل عملکرد سیستم را با اعمال اغتشاش باد در حالت­های مختلف بررسی نموده و ضرورت وجود کنترل­ کننده را بررسی می­نماییم.
مدل­سازی سیستم­های مکانیکی
در بسیاری از کاربردها با تعداد متعددی از اجسام صلب^[۴۲] سرکار داریم که به شکلی به هم متصلند. به چنین اتصالاتی، قیود می­گویند. این قیود یک سری شروط اضافی را برای حرکت نسبی یک جسم به جسم دیگر تحمیل می­ کنند. این مجموعه از اجسام مقید را سیستم مکانیکی می­نامند[۱۶]. جرثقیل­های حامل کانتینر را هم می­توان به صورت یک سیستم دینامیکی در نظر گرفت.
ابتدا به مفهوم درجه آزادی در سیستم­های مکانیکی می­پردازیم. درجه آزادی به معنای تعداد حرکات ممکن سیستماتیکی مستقل می­باشد. یک جسم صلب در فضای سه­بعدی دارای شش درجه­ آزادی و در حرکت صفحه­ای (مدل دوبعدی)، دارای سه درجه­ آزادی می­باشد.
قیود مکانیکی یا به صورت معادلات جبری^[۴۳] و یا نامعادله^[۴۴] بیان می­شوند. این قیود باعث می­شوند که سیستم مکانیکی در یک مسیر محدود، که به آن حرکت قابل قبول^[۴۵] می­گویند، حرکت کنند. برای این­که هر جسم در مسیری که قید حرکت آن را به آن محدود کرده حرکت بکند؛ یک نیروی قیدی^[۴۶] به آن وارد می­ شود. استفاده از روابط نیوتون در مدل­سازی سیستم­های مکانیکی بسیار پیچیده خواهد بود. دلیل آن هم در این است که اولاً باید تمامی نیروهای قیدی در روابط منظور بشوند. دوماً نیروهای کنش و واکنش بین دو جسم در آن ظاهر شده و تمامی نیروها در معادلات آن به شکل برداری می­باشند. سوماً، با بهره گرفتن از روش نیوتون برای N جسم، ۳N درجه آزادی سیستم در حالت دوبعدی می­کاهند. از آن­جا که تنها لازم است تعداد معادلات به اندازه­ تعداد درجات آزادی سیستم باشند؛ معادلات نیوتون از این لحاظ نیز کار را بسیار پیچیده می­ کنند.
مدل­سازی بر اساس روش لاگرانژ این مشکلات را حل می­ کند. روش کار به این صورت است که موقعیت هر جسم را به صورت یک بردار در نظر می­گیرم. سپس انرژی جنبشی و پتانسیل هر جسم را با بهره گرفتن از آن بدست می­آوریم. L را به صورت زیر تعریف می­کنیم:

در استفاده از روش لاگرانژ، بردارهای مختصات را به جهت حرکت برای هر درجه­ آزادی انتقال می­دهیم. هر یک از این جهات را با q_i و نیروی وارد شده بر هریک را با Q_i نشان می­دهیم. با این حساب برای رسیدن به مدل ریاضی یک سیستم مکانیکی تنها کافی است که رابطه­ زیر را برای هر درجه­ آزادی بنویسیم:

با این حساب، به ازای هر درجه­ آزادی یک معادله خواهیم داشت؛ که این به معنای حداقل معادله­ ممکن می­باشد.
مدل­سازی جرثقیل­های حامل کانتینر
همان­طوریکه در شکل (‏۲‑۱) نشان داده شده است؛ هدف ما کنترل مدل پیشنهاد داده شده در[۱۴] می­باشد. این سیستم مکانیکی شامل سه جسم ارابه، سکوی کانتینر و کانتینر می­باشد. به منظور افزایش درجه­ آزادی مکانیکی سیستم، سکوی کانتینر شامل صفحه­ی لغزنده پیشنهادی می­باشد. با این حال به دلیل این که جرم کانتینر به مراتب بیشتر از جرم صفحه لغزنده می­باشد؛ جرم صفحه­ی لغزنده را هم با جرم آن­ها را به شکل جرم یک جسم (کانتینر) فرض می­کنیم.
شکل‏۲‑۱-مدل جرثقیل حامل کانتینر [۱۴]
در این حالت جرثقیل دارای یک درجه آزادی می­باشد. (تاب خوردن کابل به اندازه ϕ) با افزودن صفحه­ی لغزنده و امکان حرکت خطی آن توسط موتور تعبیه شده به آن، یک درجه­ آزادی دیگر به ان اضافه می­ شود. (x_c)، در نتیجه دو معادله­ لاگرانژ برای  و  باید برای آن نوشت. یک ورودی عمومی هم در صفحه­ی لغزنده توسط موتور به معادله­ لاگرانژ اول وارد می­ شود. (Q_i) در واقع با تغییر فاصله­ی بین مرکز جرم سکوی کانتینر توسط کنترل­ کننده، مرکز جرم کل سیستم مکانیکی تغییر مکانیکی تغییر می­ کند. این باعث می­ شود که انحراف کابل به میزان ϕ نیز تغییر بکند. در نتیجه می­توان با این­کار مقدار تاب­خوردن را تنظیم نمود.
دقت شود که تاب خوردن طناب را با c نیز می­توان حساب کرد. اما به­­دست آوردن زاویه­ی منحرف شده ϕ توسط یک پتانسیومتر^[۴۷] به مراتب ساده­تر از c، که نیاز به حس­گرهای پیچیده­ دوربینی دارد، می­باشد. بنابراین در این­جا مدل­سازی را بر حسب  انجام می­دهیم.
حال به­دست اوردن معادلات ریاضی جرثقیل دوبعدی توسط روش لاگرانژ می­پردازیم. سیستم مکانیکی از سه جسم، ارابه (با اندیس t) سکوی کانتینر ( با اندیسs) و کانتینر (با اندیسc) تشکیل شده است. در این حالت تمامی حرکات خطی می­باشند. بنابراین تمامی سرعت­های زاویه­ای در آن صفر می­باشند. در نتیجه انرژی پتانسیل مکانیکی، که مجموعه انرژی هر سه جسم می­باشد، توسط رابطه­ زیر به­دست می ­آید: