۸-۲ تعریف سختی

سختی یک جسم معیاری است از مقاومتی که در یک جسم الاستیک در برابر تغییر شکل رخ می‌دهد(خمش، کشش و یا فشرده شدن).

۹-۲ ارتباط سختی با الاستیسیتی

درواقع، مدول الاستیک همان سختی نیست. مدول الاستیک یک خصوصیت از مواد تشکیل‌دهنده می‌باشد؛ درحالی‌که سختی یک خصوصیت از مواد صلب می‌باشد. بنابراین، مدول جز خواص شدتی مواد است؛ سختی ، به‌عبارت‌دیگر خواص مقداری مواد صلب است که به ماده و شکل و شرایط مرزی آن وابسته است. خواص شدتی به خصوصیاتی گفته می‌شود که به مقدار و اندازه ماده وابسته نیست، درحالی‌که خواص مقداری مواد به مقدار و اندازه ماده وابسته است. در حالت خاص کشش یا فشار بدون قید تک‌محوری، مدول یانگ می‌تواند به‌عنوان معیاری از سختی یک ماده فرض شود.

۱۰-۲ موارد استفاده مدول در مهندسی

سختی یک ساختار به‌عنوان مهم‌ترین اصل در بسیاری از موارد کاربرد مهندسی به شمار می‌آید، بنابراین مدول الاستیسیته اغلب به‌عنوان اصلی‌ترین خصوصیات ماده در زمان انتخاب موردبحث قرار می‌گیرد. یک مدول الاستیسیته بالا مطلوب است زمانی که تغییر شکل ماده نامطلوب است، درحالی‌که یک مدول الاستیسیته پایین زمانی که انعطاف‌پذیری ماده موردنیاز است، مطلوب است [۳].

۱۱-۲ نظریه انیشتین در مورد گرمای ویژه بلورها

در اینجا، یک مدل فوق‌العاده ساده را برای مشخصه ارتعاشی یک بلور موردبحث قرار خواهیم داد.در حقیقت این مدل چنان ساده است که به‌منظور قدردانی از بینش عمیق و اثر موجود در این مدل بایستی ازلحاظ زمانی به ابتدای سده جاری برگردیم. ترمودینامیک آماری کلاسیکی، تا پایان سده نوزدهم تا حد نسبتاً خوبی گسترش‌یافته بود. اگر چنین در نظر گرفته شود که N اتم یک جامد بلوری به‌صورت نوسانگرهای هماهنگ، حول موقعیت‌های تعادلی خود رفتار می‌نمایند، نظریه کلاسیکی (افراز یکسان) پیش‌بینی می‌کند که هر اتم برای هر سه درجه آزادی ارتعاشی خود R cal/deg-mole سهم دارد، یا اینکه ظرفیت گرمایی مولی در حجم ثابت ۳Nk=3R=6cal/deg-mole است.این پیش‌بینی که به قانون دولن و پتیت معروف است، در دمای به‌اندازه کافی بالا، و اغلب تا حد دمای اتاق،با ظرفیت گرمایی مشاهده‌شده بسیاری از بلورها در توافق خوبی است. اما در دماهای پایین این توافق کاملاً از بین می‌رود. مثلاً ظرفیت گرمایی نقره در شکل(۱-۲) زیر نشان داده است.

۱-۲شکل ظرفیت گرمایی نقره
می‌توان ملاحظه کرد که ظرفیت گرمایی  نقره به‌طور مجانبی به مقدار دولن و پتیت میل می‌کند، اما هنگامی‌که  دما به سمت صفر میل می‌کند این منحنی سریعاً به صفر میل می‌کند. این رفتار عموماً زیاد مشاهده می‌شود، و به طریق تجربی معلوم شده است هنگامی‌که دما به صفر میل می‌کند، ظرفیت گرمایی به‌صورت T³ به صفر میل می‌کند. این به‌عنوان قانونT³ شناخته‌شده است و یک واقعیت تجربی است که هر نظریه موفقی باید آن را نتیجه‌گیری کند. در آغاز سده جاری، انحراف‌ها از رفتار کلاسیکی پیش‌بینی‌شده، مرتباً در حال کشف شدن بودند، و هر یک اعتراض سختی بر نظریه‌های فیزیکی آن زمان وارد می‌کردند. برای ارتعاش‌های اتم‌ها در بلورها، انیشتین اولین کسی بود که با کاربرد مفاهیم انقلابی نظریه تابش جسم سیاه پلانک، یک توضیح نظری برای ظرفیت گرمایی دمای پایین جامدات ارائه داد. انیشتین فرض کرد که هر اتم در بلور، حول پیکربندی تعادلی خود به‌صورت یک نوسانگر هماهنگ ساده مرتعش می‌شود، لذا کل بلور می‌تواند به‌صورت دسته‌ای از ۳N نوسانگر هماهنگ مستقل در نظر گرفته شود، که هر نوسانگر دارای فرکانس یکسان  باشد.سپس ازلحاظ فیزیکی وی فرض کرد محیطی متوجه اتم می‌شود که متوجه هر اتم دیگری نیز می‌شود و بنابراین، این امکان وجود داشت که تمام N اتم را به‌صورت نوسانگرهای مستقل در جهت‌های x وy وz در نظر بگیرند.ازلحاظ کلاسیکی چنین فرضی منجر به مقدار ۳Rcal/deg-mole قانون دولن و پتیت می‌شود، اما سهم بزرگ انیشتین (در ۱۹۰۷) این بود که گفت انرژی هر یک از ۳N نوسانگر مستقل باید بر مبنای روشی که توسط پلانک توسعه‌یافته بود، کوانتیده شده باشد. بنابراین، می‌توانیم بگوییم که انیشتین فرض کرد که طیف فرکانس  یک تابع دلتا در یک فرکانس بوده است.

که در آن فاکتور ۳N گنجانده‌شده است، تا معادله روبرو  صادق باشد، و  تنها فرکانسی است که به تمام ۳N نوسانگر مستقل بلور نسبت داده می‌شود. مقدار فرکانس انیشتین،  از ماده‌ای به ماده دیگر تغییر می‌کند، و از بعضی جهات، این فرکانس، طبیعت برهم‌کنش‌های بین‌اتمی را برای آن بلور خاص منعکس می‌کند .اگر معادله  را در معادله زیر قرار دهیم:

فرمول زیر را برای ظرفیت گرمایی به دست می‌آوریم:

متداول است که کمیت  را با  ، که دارای واحد دماست و آن را دمای انیشتین بلور می‌نامند، تعریف می‌کنند. برحسب دمای انیشتین معادله بالا به‌صورت زیر است:

معادله بالا برای تطبیق کل منحنی ظرفیت گرمایی نشان داده‌شده در شکل(۱-۲) یک تنظیم‌پذیر را دارا است. در شکل(۲-۲)، مقایسه‌ای بین معادله(۴-۲)و ظرفیت گرمایی تجربی الماس‌نشان داده‌شده است. در معادله(۴-۲) هنگامی‌که دما به بی‌نهایت میل می‌کند، ظرفیت گرمایی  ، به مقدار دولن و پتیت ۳NK=3R میل می‌کند.
شکل۲-۲مقایسه ظرفیت گرمایی تجربی الماس با مقدار پیش‌بینی‌شده بر مبنای نظریه انیشتین
اگرچه در شکل (۲-۲) نشان داده‌شده است که مدل انیشتین برای یک بلور قادر است که توافق کیفی مؤثری باتجربه برقرار کند، اما ازلحاظ کمی با آن در توافق نیست. به‌ویژه معادله (۴-۲) پیش‌بینی می‌کند که ظرفیت گرمایی دمای پایین، به‌جای اینکه به‌طرف T³، به‌عنوان داده‌های تجربی میل کند، به‌صورت زیر سیر می‌کند: