دانلود فایل ها در رابطه با : لایه های سیاه گرانش گوس- بونه در حضور دو کلاس الکترودینامیک غیرخطی- فایل ... |
(۴-۲-۱۴)
که در آن پریم یگانه و پریم دوگانه به ترتیب مشتق مرتبهی اول و دوم نسبت به میباشند.
با در نظر گرفتن متریک محاسبه شده و بررسی اسکالر کریشمن، (۴-۲-۱۴)، در مییابیم که این کمیت در های خیلی کوچک واگرا می شود و سایر نقاط دارای مقدار متناهی است:
(۴-۲-۱۵)
از این رو برای جوابهای حاصل از گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی در یک تکینگی اصلی وجود دارد و لذا این فضازمان در بر گیرندهی یک سیاهچاله میباشد.
برای بررسی جوابهای سیاهچالهای، باید وجود افقها را بررسی کنیم. متریک ارائه شده در معادله (۴-۲-۲) دارای افق کیلینگ و افق رویداد است. منظور از افق کیلینگ، ابر سطحی است که مولدهای نول آن بر میدان کیلینگ مماس باشند.
بردار کلینگ برای متریک (n+1)- بعدی عبارت است از:
(۴-۲-۱۶)
که مولد نول افق رویداد میباشد. در رابطه فوق، همان امین مولفهی سرعت زاویهای افق بیرونی است که با استمرار تحلیلی متریک بهدست می آید. برای سرعت زاویهای افق بیرونی با توجه به (۳-۱۰-۶) داریم:
(۴-۲-۱۷)
با بهره گرفتن از رابطه دما، (۳-۱۰-۲)، و نیز معادله (۴-۲-۱۶)، میتوان دما را به صورت زیر نوشت:
(۴-۲-۱۸)
در سیاهچالههای باردار تابع متریک بهازای هر دو حالت و وابسته به پارامتر متریک به یک مقدار مثبت میل می کند. اما برای سیاهچالههای باردار با بار غیرخطی، تابع متریک وابسته به پارامتر غیرخطی می تواند مثبت، صفر و منفی باشد. بهعبارت دیگر تابع متریک برای های بزرگ مسلما یک مقدار مثبت است ولی برای وابسته به کمیت غیرخطی می تواند مثبت ، صفر و منفی باشد. با فرض اینکه باشد میتوان را بر حسب ، و بدست آورد.
برای حالت سیاهچاله شبیه جواب شوارتزشیلد برای حالت آنتیدوسیته دارای یک افق غیراکستریم با دمای مثبت است (جواب بدون بار). اما برای حالت ، سیاهچاله وابسته به انتخاب پارامتر غیرخطی اکستریم می تواند دارای دو افق رویداد ، یک افق رویداد (اکستریم) و بدون افق رویداد (تکینگی برهنه[۴۱]) باشد ]۲۲[.
۴-۳ گرانش گوس- بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی
حال اگر لاگرانژی لگاریتمی را همانطور که در فصل دوم معرفی شد به صورت:
(۴-۳-۱) LNEF
در نظر بگیریم، با در نظر گرفتن این لاگرانژی در فضایی که با متریک (۴-۲-۲) توصیف می شود معادلات میدان بر حسب اینگونه محاسبه می شود:
(۴-۳-۲)
با حل معادله فوق بر حسب داریم:
(۴-۳-۳)
حال با فرض روابط (۴-۱-۳) و (۴-۲-۲)، گرانش گوس- بونه در را در حضور الکترودینامیک غیرخطی لگاریتمی در نظر میگیریم، پس از حل (۴-۱-۱۱) در ۵- بعد به معادلات دیفرانسیلی میرسیم که سادهترین آن مولفه است که عبارت است از:
(۴-۳-۴)
در معادله دیفرانسیلی فوق ، تابع متریک در ۵- بعد میباشد، و میباشد. اگر (۴-۳-۴) را بر حسب تابع متریک، ، حل کنیم داریم:
(۴-۳-۵)
که
(۴-۳-۶)
که در معادله فوق تابع فوق هندسی میباشد.
این حالت نیز مانند قسمت (۴-۲)، برای یافتن فرم کلی تابع متریک در (n+1)بعد میبایست تابع متریک را به همین صورت، (۴-۳-۵)، برای ابعاد بالاتر از ۵ نیز محاسبه کنیم. پس از محاسبهی معادلات میدان در ابعاد مختلف معادله دیفرانسیل برای مولفهی به صورت زیر بهدست آوردیم:
(۴-۳-۷)
که میباشد. اگر (۴-۳-۷) را بر حسب حل کنیم داریم:
(۴-۳-۸)
در این رابطه عبارت است از:
(۴-۳-۹)
در صورتی که تابع متریک (n+1)- بعد را به طور همزمان برای های کوچک و های بزرگ بسط دهیم، برای میتوان نوشت:
(۴-۳-۱۰)
در معادله فوق که منطبق بر تابع متریک گرانش اینشتین- ماکسول در ۱+۴- بعد میباشد و جمله دوم و سوم بهترتیب اولین تصحیح میدان غیرخطی الکترومغناطیسی و گرانش گوس- بونه میباشد. لازم به ذکر است که جمله چهارم تصحیحِ جفت شدگی گرانش با میدان الکترومغناطیسی را نشان میدهد.
۴-۴ بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاهچاله گوس-بونه در حضور الکترودینامیک غیرخطی نمایی
در این قسمت ابتدا کمیتهای ترمودینامیکی و پایای لایهی سیاه را محاسبه میکنیم. سپس رابطه اسمار را برای جوابهای بهدست آمده تعمیم داده، جرم را به صورت تابعی از آنتروپی، تکانهی زاویهای و بار بهدست آورده و سپس قانون اول ترمودینامیک را آزموده و تایید میکنیم.
۴-۴-۱ کمیتهای ترمودینامیکی و پایا
هرگاه حجم ابرسطحی که با دو قید، ثابت و ثابت، حاصل می شود را بنامیم، از آنجایی که آنتروپی با مساحت و قسمت فضایی معادله میدان ارتباط دارد در نتیجه آنتروپی برای گرانش گوس- بونه در حضور هر میدانی به یک شکل است. با توجه به اینکه در گرانش گوس- بونه کار میکنیم و در این سطح نمی توان به طور صریح از قانون مساحت استفاده کرد با بهره گرفتن از رابطه (۳-۱۰-۸) میتوان آنتروپی لایهی سیاه به شکل زیر بهدست آورد:
(۴-۴-۱)
همانطور که ملاحظه میکنید، در این حالت برای گرانش گوس- بونه آنتروپی قانون مساحت را برآورده می کند. لازم بهذکر است که متریک مورد استفاده در این رساله دارای افق تخت بوده و لذا کمیت در معادله (۳-۱۰-۸) صفر می شود.
برای محاسبهی پتانسیل الکتریکی، به کمک رابطه (۳-۱۰-۱۲) و بردار کیلینگ داده شده در رابطه (۴-۱-۲۰) داریم:
(۴-۴-۲)
همچنین با توجه به قسمت (۳-۱۰-۴) به محاسبهی بار الکتریکی بر واحد حجم میپردازیم، مقدار بهدست آمده عبارت است از:
فرم در حال بارگذاری ...
[شنبه 1400-08-08] [ 11:37:00 ب.ظ ]
|