سؤالی که اینجا مطرح می‌شود این است که آیا دانش‌آموزی با قد ۱٫۷۹ نمی‌تواند در این تیم حضور داشته باشد؟ اگر می‌تواند، تصمیم برای دانش‌آموزی با قد ۱٫۷۸ چه خواهد بود؟ اگر باز هم جواب مثبت است، چه تصمیمی برای فردی با قد ۱٫۷ خواهید گرفت؟

حال دسته بندی مجموعه‌های خشک و غیر خشک را می‌توان در نمایش داد.

شکل ‏۲‑۱: تفاوت مجموعه‌بندی مقادیر در (الف) منطق فازی و (ب) غیر فازی
تشریح مجموعه‌های فازی
بر اساس تعریف ارائه شده توسط زاده، تئوری مجموعه فازی در واقع گسترش‌یافته مجموعه کلاسیک است به نحوی که به اعضای آن مقداری جهت اشتراک در مجموعه اختصاص داده شده باشد. بنیاد منطق فازی بر شالوده نظریه مجموعه‌های فازی استوار است. این نظریه تعمیمی از نظریه کلاسیک مجموعه‌ها در علم ریاضیات است. در تئوری کلاسیک مجموعه‌ها، یک عنصر، یا عضو مجموعه است یا نیست. در حقیقت عضویت عناصر از یک الگوی صفر و یک و باینری تبعیت می‌کند. اما تئوری مجموعه‌های فازی این مفهوم را بسط می‌دهد و عضویت درجه‌بندی شده را مطرح می‌کند. به این ترتیب که یک عنصر می‌تواند تا درجاتی - و نه کاملاً - عضو یک مجموعه باشد. مثلاً این جمله که ” آقای الف به اندازه هفتاددرصد عضو جامعه بزرگسالان است” از دید تئوری مجموعه‌های فازی صحیح است. در این تئوری، عضویت اعضای مجموعه از طریق تابع µ(x)مشخص می‌شود که x نمایانگر یک عضو مشخص و µ(x) تابعی فازی است که درجه عضویت ‌x در مجموعه مربوطه را تعیین می‌کند و مقدار آن بین صفر و یک است:

به بیان دیگر، µ(x) نگاشتی از مقادیر x به مقادیر عددی ممکن بین صفر و یک را می‌سازد. تابع µ(x) ممکن است مجموعه‌ای از مقادیر گسسته یا پیوسته باشد. وقتی که µ(x) فقط تعدادی از مقادیر گسسته بین صفر و یک را تشکیل می‌دهد، مثلاً ممکن است شامل اعداد ۳/۰ و ۵/۰ و ۷/۰ و ۹/۰ و صفر و یک باشد. اما وقتی مجموعه مقادیر µ(x) پیوسته باشند، یک منحنی پیوسته از اعداد اعشاری بین صفر و یک تشکیل می‌شود.
شکل ‏۲‑۲ نموداری از نگاشت پیوسته مقادیر x به مقادیر ‌µ(x)را نشان می‌دهد. تابع‌ µ(x) در این نمودار می‌تواند ارزش عضویت در یک مجموعه فازی فرضی را تعریف کند.
شکل ‏۲‑۲: نگاشت پیوسته‌ای از مقادیر تابع تعلق
روند بکارگیری منطق فازی
منطق فازی را از طریق قوانینی که “عملگرهای فازی” نامیده می‌شوند، می‌توان به‌کار گرفت. این قوانین معمولاً بر اساس مدل زیر تعریف می‌شوند:
اگر “متغیر” جزئی از مجموعه باشد آنگاه “اجرا”
به عنوان مثال فرض کنید می‌خواهیم یک توصیف فازی از دمای یک اتاق ارائه دهیم. در این صورت می‌توانیم چند مجموعه فازی تعریف کنیم که از الگوی تابع µ(x) تبعیت کند. شکل ‏۲‑۳ نموداری از نگاشت متغیر “دمای هوا” به چند مجموعه‌ فازی با نام‌های “سرد"، “خنک"، “عادی"، “گرم” و “داغ” است. چنان که ملاحظه می‌کنید، یک درجه حرارت معین ممکن است متعلق به یک یا دو مجموعه باشد.
شکل ‏۲‑۳: میزان تعلقات دمایی تعیین شده توسط فرد خبره جهت تنظیم حرارت محیط
به عنوان نمونه، درجه حرارت‌های بین دمای T1 و T2 هم متعلق به مجموعه “سرد” و هم متعلق به مجموعه “خنک” است. اما درجه عضویت یک دمای معین در این فاصله، در هر یک از دو مجموعه متفاوت است. به طوری که دمای نزدیک  ‌T2 تنها به اندازه چند صدم در مجموعه “سرد” عضویت دارد، اما نزدیک نود درصد در مجموعه “خنک” عضویت دارد.
اکنون می‌توان بر اساس مدل فوق قانون فازی زیر را تعریف کرد:
اگر دمای اتاق “خیلی گرم” است، سرعت پنکه را “خیلی زیاد” کن.
اگر دمای اتاق “گرم” است، سرعت پنکه را “زیاد” کن.
اگر دمای اتاق “معتدل” است، سرعت پنکه را در “همین اندازه” نگه‌دار.
اگر دمای اتاق “خنک” است، سرعت پنکه را “کم” کن.
اگر دمای اتاق “سرد” است، پنکه را “خاموش” کن.
اگر این قانون فازی را روی یک سیستم کنترل دما اعمال کنیم، آن‌گاه می‌توانیم دماسنجی بسازیم که دمای اتاق را به صورت خودکار و طبق قانون ما، کنترل می‌کند. اما این سؤال پیش می‌آید که اگر دو یا چند قانون همزمان برای یک متغیر ورودی فعال شود چه اتفاقی خواهد افتاد؟ فرض کنید دمای اتاق برابر Tx₁ است در این صورت هم قانون مربوط به اتاق گرم و هم قانون مربوط به دمای اتاق معتدل صادق است و مقادیر U1 و U2 به ترتیب به دست می‌آید. طبق کدام قانون باید عمل کرد؟ لطفی‌زاده خود پاسخ این معما را نداد. در سال ۱۹۷۵ دو دانشمند منطق فازی به نام ممدانی (Mamdani) و آسیلیان اولین کنترل فازی واقعی را طراحی کردند. آنان پاسخ این معما را با محاسبهِ نقطه ثقل©  مساحتی که از ترکیب دو ذوزنقه زیر U1 و U2 در شکل ۳ پدید آمده و نگاشت آن به محور t و به دست آوردن مقدار Tx₂ حل کردند.
شکل ‏۲‑۴: میزان تأثیر پذیری یک مقدار از توابع تعلق متناظر
منطق فازی و ارتباط آن با هوش مصنوعی
جالب‌ترین کاربرد منطق فازی، تفسیری است که این علم از ساختار تصمیم‌گیری‌های موجودات هوشمند، و در راس آن‌ها، هوش انسانی، به دست می‌دهد. این منطق به خوبی نشان می‌دهد که چرا منطق دو ارزشی “صفر و یک” در ریاضیات کلاسیک قادر به تبیین و توصیف مفاهیم نادقیقی همچون “گرما و سرما” که مبنای بسیاری از تصمیم‌گیری‌های هوشمند را تشکیل می‌دهند، نیست. از کاربردهای منطق فازی هوش مصنوعی می‌توان به بازی‌های رایانه‌ای و جلوه‌های ویژه سینمایی اشاره نمود.
شبکه‌های عصبی
مقدمه‌ای بر شبکه‌های عصبی مصنوعی
امروزه کاربرد هوش مصنوعی در حل مسائل مختلف گسترش چشمگیری یافته است. توسعه یافتن شبکه‌های عصبی مصنوعی، حدوداً از ۶۰ سال پیش آغاز شد؛ با این انگیزه که هم مغز بهتر شناخته شود و هم از بعضی از توانائی‌هایش تقلید شود. این دانش بر اساس تقلید از کارکرد مغز در بازآفرینی استدلال هوشمندانه توسط رایانه استوار است. اما این تقلید، بازسازی جزئیات بیولوژیکی یاخته­های عصبی نیست، بلکه بکارگیری شیوه های منطقی کارکرد مغز و انتقال آن مفاهیم در سامان­دهی نرم­افزارهای ویژه، اساس کار می­باشد[^[۲۱]].
هر چند درک این روش بر فن­آوری رایانه استوار نیست، اما با توجه به حجم زیاد عملیات، گستردگی برنامه ­های جنبی و سرعت محاسبات، رایانه ابزار کلیدی محسوب می­گردد. با افزایش سرعت محاسباتی کامپیوترها، تمایل به استفاده از شبکه های عصبی در حل مسائل مختلف نیز افزایش یافته است. اگر چه روش های محاسباتی متداول، مزایایی دارند اما ماهیت پردازش مرحله به مرحله و غیرموازی آنها، مانعی بر سر راه پردازشهای موازی مربوط به شبکه‌های عصبی می­باشد [^[۲۲]].
شباهت با مغز
اگر چه مکانیسم‌های دقیق کارکرد مغز انسان (یا حتی جانوران) به طور کامل شناخته شده نیست، اما با این وجود جنبه‌های شناخته شده‌ای نیز وجود دارند که الهام‌بخش تئوری شبکه‌های عصبی بوده‌اند. به عنوان مثال، یکی از سلولهای عصبی، معروف به نرون^[۲۳] است که دانش بشری آن را به عنوان سازنده اصلی مغز می‌انگارد. سلولهای عصبی قادرند با اتصال به یکدیگر، تشکیل شبکه‌های عظیم بدهند. گفته می‌شود که هر نرون می‌تواند به هزار تا ده هزار نرون دیگر اتصال یابد. قدرت خارق‌العاده مغز انسان از تعداد بسیار زیاد نرونها و ارتباطات بین آنها ناشی می شود. ساختمان هر یک از نرون‌ها نیز به تنهایی بسیار پیچیده است. هر نرون از بخش‌ها و زیرسیستم‌های زیادی تشکیل شده است که از مکانیسم‌های کنترلی پیچیده‌ای استفاده می‌کنند. سلولهای عصبی می‌توانند از طریق مکانیسم‌های الکتروشیمیایی اطلاعات را انتقال دهند. در شکل ‏۲‑۵ نمای ساده‌ شده‌ای از ساختار یک نرون بیولوژیک نمایش داده شده است. به طور خلاصه، یک نرون بیولوژیک، پس از دریافت سیگنال‌های ورودی (به شکل یک پالس الکتریکی) از سلو‌ل‌های دیگر، آن سیگنال‌ها را با یکدیگر ترکیب کرده و پس از انجام یک عمل^[۲۴] دیگر بر روی سیگنال‌ ترکیبی آن را به صورت خروجی ظاهر می‌سازد. نرون کوچکترین واحد مستقل پردازش اطلاعات است که از چهار بخش اصلی ساخته شده‌ است. دندریتها^[۲۵]، سوما^[۲۶]، آکسون^[۲۷] و سیناپس^[۲۸]. بدنه نرون، سوما نامیده می‌شود. به سوما رشته هایی نامنظم طولانی متصل است که به آنها دندریت می‌گویند. قطر این رشته‌ها اغلب از یک میکرون نازکتر است و اشکال شاخه ای پیچیده‌ای دارند. دندریت ها، اجزایی هستند که به شکل رشته‌های طویل از مرکز سلول به اطراف پراکنده می‌شوند. دندریت‌ها نقش کانالهای ارتباطی را برای انتقال دادن سیگنال‌های الکتریکی به مرکز سلول برعهده دارند. یکی از عناصر عصبی متصل به هسته نرون آکسون نامیده می‌شود. این عنصر برخلاف دندریت از نظر الکتریکی فعال است و به عنوان خروجی نرون عمل می‌کند. آکسون‌ها همیشه در خروجی سلول‌ها مشاهده می‌شوند، لیکن اغلب در ارتباط‌های بین نرونی غایب هستند. در واقع این خروجی‌ها و ورودی‌ها هر دو بر روی دندریت‌ها واقع می‌شوند. آکسون وسیله‌ای غیرخطی است که در هنگام تجاوز پتانسیل ساکن داخل هسته از حد معینی، پالس ولتاژی را به میزان یک هزارم ثانیه به نام پتانسیل فعالیت تولید می‌کند. این پتانسیل فعالیت در واقع یک سری از پرش‌های سریع ولتاژ است. در انتهای دندریت‌ها، ساختار بیولوژیکی ویژه‌ای به نام سیناپس واقع شده است که نقش دروازه‌های اتصالی کانالهای ارتباطی را ایفا می‌کند. در شکل ‏۲‑۶ نمونه ای از ساختار سیناپس بیولوژیکی آورده شده است. رشته آکسون در نقطه تماس سیناپس قطع می‌شود و در این مکان به دندریت سلول دیگر وصل می‌گردد. در واقع سیگنالهای گوناگون از طریق سیناپس‌ها و دندریت‌ها به مرکز سلول منتقل شده و در آنجا با یکدیگر ترکیب می‌شوند. دندریت‌ها که به صورت درخت گونه پخش هستند اطلاعات دریافتی به شکل سیگنال‌ را دریافت نموده و آن را به هسته سلول هدایت می‌کنند. یک عمل جمع ساده از کل سیگنال‌ها بسته به وزن و شدت هر یک در هسته انجام می‌گردد و نتیجه توسط اکسون هدایت می‌شود و بسته به شدت‌ آن ممکن است پالس الکتریکی را از سیناپس با شدت بیشتر یا با شدت کمتر عبور دهند و یا ممکن است به دلیل ضعیف بودن بار الکتریکی آن را عبور ندهند.
شکل ‏۲‑۵: مشخصات اصلی نرون بیولوژیکی
شکل ‏۲‑۶: ساختار سیناپس بیولوژیکی
عمل ترکیب که به آن اشاره کردیم، می‌تواند یک عمل جمع جبری ساده باشد. اصولاً اگر چنین نیز نباشد، در مدلسازی ریاضی می‌توان آن را یک عمل جمع معمولی در نظر گرفت که پس از آن تابع ویژه‌ای بر روی سیگنال اثر داده می‌شود و خروجی به شکل سیگنال الکتریکی متفاوتی از طریق اکسون (وسیناپس ) آن به سلولهای دیگر انتقال داده می‌شود. البته تحقیقات جدید نمایانگر این واقعیت هستند که نرون‌های بیولوژیک بسیار پیچیده‌تر از مدل ساده ای هستند که در بالا شرح داده شد. اما همین مدل ساده می‌تواند زیربنای مستحکمی برای دانش شبکه‌های عصبی مصنوعی تلقی گردد و متخصصان گرایش شبکه‌های عصبی یا هوش مصنوعی می‌توانند با پیگیری کارهای دانشمندان علوم زیست‌شناسی، به بنیانگذاری ساختارهای مناسبتری در آینده دست بزنند.
شبکه‌های عصبی مصنوعی