۱-۷-۴- ساختارهندسی شبکه
در یک لایه گرافن اتم های کربن در لبه های شش گوشی های منظمی قرار گرفته اند(شکل ۱-۷- الف). این ساختار که شبکه لانه زنبوری نامیده می شود، یک شبکه براوه نیست و از نقطه نظر بلور شناسی باید آن را بوسیله یک شبکه مثلثی^[۵۶] با دو اتم در هر سلول واحد توصیف کرد. این دو اتم معمولا به عنوان اتم های A و B نام گذاری می شوند.
(الف) (ب)
شکل ۱-۷- ساختار شبکه گرافن
الف : در فضای حقیقی و ب : در فضای وارون
سلول واحد شبکه یک لوزی^[۵۷] است که توسط بردار های زیر تعریف می شود:
که در آن فاصله بین اتم هاست.
ثابت شبکه^[۵۸]() نیز با رابطه زیر به فاصله بین اتمی () مربوط می شود:
شبکه وارون^[۵۹] یک شبکه مثلثی خواهد بود که با بردار های زیر توصیف می گردد (شکل ۱-۷- ب ) :
اولین منطقه بریلوئن^[۶۰] نیز در شکل (۱-۷- ب) نشان داده شده است. مرسوم است که در نام گذاری از K و K’ استفاده شود. به زودی اهمیت نام گذاری این نقاط مشخص می گردد]۳۷[.
باید توجه داشت که انتخاب مبدا و محورهای دستگاه مختصات اختیاری است، اما زمانی که این انتخاب صورت گرفت باید در همه آنالیزهای بعدی، مرتبا از همان دستگاه استفاده شود ]۳۹[.
۱-۸- ساختار نواری گرافن
هدف این بخش، یافتن ساختار نواری گرافن است. به این منظور ویژه مقادیر معادله شرودینگر را محاسبه می کنیم:
(۱-۱)
(۱-۲)
رابطه (۱-۲) هامیلتونی تک الکترون در گرافن است. عبارت اول انرژی جنبشی الکترون و عبارت دوم پتانسیل تناوبی را نشان می دهد وR نمایانگر موقعیت اتم های کربن می باشد. از آن جایی که سلول واحد^[۶۱] گرافن شامل۲ اتم است، برای محاسبه تابع موج رابطه زیر را دنبال می کنیم:

(۱-۳)
و توابع بلاخ^[۶۲] هستند که با عبارت زیر داده می شوند:
(۱-۴)
به موقعیت اتم A و یا B اشاره دارد و توابع ونیر^[۶۳] هستند که در جایگاه اتم های A یا B جایگزیده^[۶۴] اند. عامل تناوب شبکه را در بر می گیرد. همچنین باید توجه داشت که و در رابطه (۱-۳) به بردار موج k وابسته اند.
برای به دست آوردن ویژه مقادیر^[۶۵] انرژی، رابطه (۱-۳) در معادله شرودینگر جایگذاری می شود. معادله را در ضرب کرده و روی همه فضا انتگرال می گیریم.
پس از تکرار این فرایند با ، دو معادله زیر نتیجه خواهد شد:
(۱-۵)
از آن جایی که و به r وابسته نیستند، می توان آن ها را از انتگرال خارج کرد. انتگرال باقی مانده به صورت زیر بازنویسی می شود:
, (i ,j)
(۱-۶)
, (i ,j)
بیانگر انتقال است که جهش الکترون های بین اتم های کربن را توصیف می کند و قدرت همپوشانی^[۶۶] اوربیتال های روی اتم های مختلف را نشان می دهد. حال به محاسبه مولفه های و می پردازیم.
ابتدا مولفه های قطری یعنی و بررسی می شوند:
(۱-۷)
با جایگذاری رابطه (۱-۴) در رابطه بالا نتیجه می شود:
(۱-۸)
در مورد گرافن، نزدیکترین همسایه ^[۶۷]های اتم ، همگی اتم های هستند و از آن جایی که جهش تنها برای نزدیک ترین همسایه ها در نظر گرفته می شود، تنها حالت برای با لحاظ کردن به دست می آید. با این وصف می توان حاصل انتگرال را به صورت زیر بیان کرد:
(۱-۹)
که در این رابطه نمایانگر انرژی حالت است.
چون زیر شبکهB مشابه با زیر شبکه A است، می توان نتیجه حاصل را تعمیم داده و نوشت:
(۱-۱۰)
مقدار به صورت تجربی به دست می آید. حال باید عناصر غیر قطری محاسبه شوند.
(۱-۱۱)
جایگذاری مجدد توابع بلاخ در رابطه (۱-۱۱) منجر به عبارت زیر می شود:
(۱-۱۲)
مشاهده می کنیم که تفاوت به صورت نمایی در رابطه ظاهر شده است.

.
شکل ۱-۸- سه بردار به نزدیک ترین همسایه های اتم B اشاره دارند