۳- ۴۴٫ جرالد لی گوتک
گوتک استاد دانشگاه لویولا در شهر شیکاگوی آمریکاست. وی معتقد بود ریاضیات، به صورت محض آن، معرفت بسیار مفیدی است که فرصت‌های لازم را برای پرداختن به امور انتزاعی فراهم می‌کند. (لی گوتک، ۱۳۸۸، ۳۹)

۳-۴۵٫ برتراند آرتور ویلیام راسل
برتراند آرتور ویلیام راسل فیلسوف بلند پایه و ریاضیدان گران مایه در هجدهم ماه می ‌سال ۱۸۷۲ مسیحی در انگلستان چشم به جهان گشود. وی در دوره‌های نخستین فکری خود و آثار اولیه به مکتب افلاطونی گرایش داشت. این فیلسوف بزرگ و گران مایه در زندگی نود و چند ساله‌ی خود، هرگز در تراوش‌های فکری و قلم توانا و رسا و سبک دل پسند نویسندگی و خوی بشر دوستی و نیز پیکار او با ستمگری‌ها و خرافات و بیدادگری‌ها و جنگ جویی ها، کمترین کاهش و سستی نشان نداد.
راسل چنین می‌نویسد:
«هر معرفتی باید شناختن حقیقتی باشد وگرنه فریبی بیش نیست. حساب باید به همان گونه کشف شده باشد که کریستف کلمب هند غربی را کشف کرد. ما اعداد را نیافریده ایم همچنان که کلمب هندیان را نیافرید. هر چیز که درباره اش بتوان اندیشید وجود دارد و وجود آن شرط مقدم بر اندیشیدن به آن است نه نتیجه‌ی اندیشیدن به آن.» (بارکر، ۱۳۴۹،۱۵۸-۱۵۷)
راسل در جای دیگر چنین می‌نویسد: «… ریاضیات ما را دور از آن چه انسانی است، به حوزه‌ی ضرورت مطلق می‌برد، که نه تنها جهانی بالفعل بلکه هر جهان ممکن دیگری باید با آن در انطباق باشد و اینجا منزلگاه ابدی خویش را می‌یابد فقط زمانی که کل وابستگی خودمان را درک کنیم، که بدین جهان متعلق است و خرد آن را می‌یابد، در آن موقع است که به طور کافی اهمیت خطیر زیبایی آن را درک می‌کنیم.» (کنفورث، ۱۳۵۸، ۱۳۸)
بر این اساس فعالیت ریاضی ما ناظر به امور انسانی و آنچه در معرض محدودیت ما است، نمی‌باشد بلکه به دنبال کشف حقایق سوری ابدی و ضرورت مطلق است. (امید، ۱۳۸۱، ۱۳۹)
حساب، مترسک و لولوی بچگی است_ به خاطرم می‌آید زمانی چون جدول ضرب را نمی‌توانستم بیاموزم سخت گریه می‌کردم- لکن اگر به تدریج و از روی توجه و مراقبت به وسیله‌ی منتسوری دست به کار آن گردیم دیگر محلی برای عجز و یأسی که اسرار غامض آن، در ما بوجود می‌آورد نخواهد بود. با وجود این باید در پایان کار یک پوشش خسته کننده برای تسلط یافتن بر بعضی قواعد به عمل آید تا در انجام عملیات آن سهولت کافی به دست آوریم. ماده‌ی مزبور یعنی حساب سخت‌ترین ‌ماده‌ی درسی اوایل مدرسه است که در برنامه‌ای که می‌خواهند جاذب و جالب گردد شایسته است آن را بگنجانند، با وجود این مقداری مهارت و زبردستی در حساب به جهات عملی لازم است. همچنین حساب مقدمه‌ی طبیعی است، برای عادت یافتن به دقت زیرا پاسخ مسأله‌ی آن یا صحیح است یا غلط و دیگر هرگز «دلچسب بودن» یا در آن «نظری داشتن» معنی ندارد و همین امر حساب را کاملاً صرف نظر از فایده‌ی عملی آن مانند عنصری از عناصر اولی تربیت مهم می‌سازد، لکن اشکالات آن باید به دقت درجه بندی شود و آن را به طوری که تسلط بر آن آسان گردد تقسیم کرد و نباید یک مرتبه وقت زیاد به آن‌ها تخصیص داد. (راسل، ۱۳۴۷، ۲۴۴)
۳-۴۶٫ سر کارل ریموند پوپر
سر کارل ریموند پوپر(۲۸ ژوئیه‌ی ۱۹۰۲-۱۷ ستامبر ۱۹۴۴میلادی) فیلسوف علم اتریشی-انگلیسی و استاد مدرسه‌ی امور اقتصادی لندن بود . او یکی از بزرگترین فیلسوفان علم سده‌ی بیستم به حساب می‌آمد و آثار زیادی در فلسفه‌ سیاسی و اجتماعی از خود باقی گذاشته است .
در پاسخ به مساله‌ی ارتباط ریاضیات با واقعیت با تأکید و توجه بر مبحث ریاضی حساب، به مواردی چند اشاره می‌کند:
۱- ریاضیات و دستگاه‌های ریاضی مانند حساب، مجموعه‌ی زبان‌هایی هستند که به قصد استعمال به منظور توصیف بعضی از واقعیت‌ها طرح ریزی شده اند. و اگر معلوم شود که آن‌ها برای رسیدن به این هدف به کار می‌روند، دیگر ما نباید دچار شگفتی شویم، جهان از چنان واقعیتی برخوردار است که با زبان قابل توصیف است. حقیقت واقعی از چنان ساختی برخوردار است که می‌توان در باب آن سخن گفت، از طرف دیگر ریاضیات نیز یک نوع زبان است که در مورد واقع استعمال می‌شود. پس سخن از ارتباط ریاضیات با واقع گفتن سخن بی ربطی نخواهد بود.
۲- بخش‌هایی از ریاضیات می‌توانند چنان طراحی شوند که تنها در بخشی از واقعیت به کار روند. برای مثال هرگونه حساب شمارشی قابل کاربرد در هر حقیقت واقع نیست. مثلاً می‌توان برای شمارش نهنگ ها، حساب اعداد طبیعی را به کار بست و گفت ۶ نهنگ در باغ وحش وجود دارد. اما با حساب شمارشی اعداد حقیقی نمی‌توان گفت که در باغ وحش ما ۳/۶ یا  نهنگ وجود دارد.
۳- در نمادهای ریاضی مانند نمادهای حساب باید میان دو کاربرد، قائل به تمایز شد: کاربرد منطقی نمادها و کاربرد توصیفی نمادها در کاربرد منطقی نمادهای ریاضی گفته‌های ما ارتباطی با جهان واقعی ندارد. چرا که این قضایا ابطال پذیر نیستند و ما ابطال و رد آن‌ها را نمی‌پذیریم. در کاربرد توصیفی است که ابطال و رد قضایا را پذیرا هستیم و از این رو درباره‌ی حقیقت واقع سخن می‌گوییم. برای مثال در قضیه‌ای مانند ۴=۲+۲ می‌توانیم دو کاربرد مذکور را چنین توضیح دهیم:
نخست اینکه «۲ سیب + ۲ سیب = ۴ سیب» ابطال ناپذیر بوده و به طور منطقاً صحیح پذیرفته شده است. ولی از هیچ واقعیتی که مستلزم سیب‌ها باشد سخن نمی‌گوید، درست به همان گونه که عبارت «همه‌ی سیب‌ها سیبند» چیزی در این باره بیان نمی‌کند. مانند این عبارت اخیر، آن نیز یک بدیهی منطقی است؛ و تنها اختلاف در این است، نه بر مبنای تعریف علامت‌های «همه» و «اند»، بلکه بر بعضی از تعریف‌های علامت‌های «۲» و «۴» و «+» و «=» بنا شده است. (تعریف ممکن است صریح باشد یا ضمنی). در این حالت می‌توانیم بگوییم که کاربرد، حقیقی نیست بلکه ظاهری است؛ اینکه در اینجا هیچ حقیقت واقعی را توصیف نمی‌کنیم، بلکه مدّعی آنیم که راهی از توصیف حقیقت واقع، همسنگ با راهی دیگر است.
کاربرد در معنای دوم دارای اهمّیّت بیشتری است. در این معنی می‌توان «۴=۲+۲» را به این معنی گرفت که، اگر کسی ۲ سیب در یک زنبیل گذاشته باشد، و بار دیگر دو سیب در همان زنبیل بگذارد، و چیزی را از سیب‌ها برندارد، در آن زنبیل ۴ سیب وجود خواهد داشت. این طرز تفسیر عبارت «۴=۲+۲» به ما در حساب کردن یعنی در توصیف واقعیت‌های فیزیکی مدد می‌رساند، و نماد «+» جانشین یک دستکاری فیزیکی می‌شود- که عبارت از افزودن فیزیکی بعضی چیزها به بعضی دیگر است. (در اینجا مشاهده می‌کنیم که گاه امکان آن است که یک نماد ظاهراً منطقی به صورت توصیفی تفسیر شود). ولی در این تفسیر عبارت «۴=۲+۲» بیش از آن که یک نظریه‌ی منطقی باشد یک نظریه‌ی فیزیکی می‌شود؛ و در نتیجه، نمی‌توانیم مطمئن باشیم که صحت کلی آن باقی می‌ماند. و در واقع هم چنین نیست. ممکن است برای سیب‌ها صحت داشته باشد، ولی برای خرگوش‌ها چنین نیست. اگر ۲+۲ خرگوش را در یک زنبیل بگذارید، به زودی هفت یا هشت خرگوش در آن خواهید یافت، و نیز برای چیزهایی همچون قطره‌ها درست نیست. اگر ۲+۲ قطره در یک شیشه‌ی خشک بگذارید هرگز چهار قطره در آن نخواهید یافت. به عبارت دیگر اگر بپرسید که جهانی که در آن «۴=۲+۲» قابل تطبیق نباشد به چه چیز شباهت دارد، خرسند کردن حس کنجکاوی شما کار آسانی است. یک جفت خرگوش نر و ماده یا چند قطره آب ممکن است به عنوان الگویی از چنین جهانی به کار رود. اگر چنین پاسخ دهید که مثال‌ها از آن جهت خوب و روشن نیست که حادثه‌ای برای خرگوش‌ها یا قطره‌ها اتفاق افتاده، و بدان جهت که معادله‌ی «۴=۲+۲» قابل تطبیق بر چیزهایی است که پیش آمد برای آن‌ها صورت نگرفته باشد، آن گاه پاسخ من این خواهد بود که، اگر شما مساله را این گونه مورد تفسیر و تعبیر قرار می‌دهید، آن گاه دیگر این معادله برای «حقیقت واقع» صحت ندارد (چه در «حقیقت واقع» در همه وقت چیزی پیش می‌آید و اتفاق می‌افتد). بلکه تنها برای جهان مجردی از اشیای متمایزی صحت دارد که در آن هیچ پیشامدی صورت نمی‌گیرد تا آن حد که جهان حقیقی ما به چنین جهان مجردی شباهت دارد، مثلاً تا آن حد که سیب‌های ما نپوسد، یا بسیار کند چنین شود، یا تا آن حد که خرگوش‌ها یا نهنگ‌های ما بچه نیاورند؛ به عبارت دیگر، تا آن حد که اوضاع و احوال فیزیکی ما به عمل جمع منطقی یا ریاضی محض شباهت داشته باشد، البته تا همان اندازه هم حساب قابل تطبیق خواهد بود. ولی این بیان عوامانه و مبتذل است. (پوپر، ۱۳۶۳، ۲۶۳-۲۶۱)
۳- ۴۷٫ دکتر علی اکبر شعاری نژاد
علی اکبر شعاری نژاد در سال ۱۳۰۴ در شهر تبریز متولد شد. وی در سال ۱۳۳۴ فارغ التحصیل رشته‌ فلسفه و علوم تربیتی از دانشسرا ی مقدماتی شد و تحصیلات تکمیلی خود را در دانشگاه تهران سپری کرد و در سال ۱۳۴۷ فارغ التحصیل شد. علوم و ریاضی باید مورد تأکید قرار گیرند زیرا به نظر رئالیسم‌ها این‌ها در حوزه‌ی یادگیری اهمیت فراوانی دارند. شناخت دنیای طبیعی، انسان را قادر می‌سازد که با محیط طبیعی خود سازگاری کند و پیش برود. (شعاری نژاد، ۱۳۸۶، ۴۰۹)
۳-۴۸٫ پرویز شهریاری
پرویز شهریاری (زاده‌ی ۲ آذر ۱۳۰۵ کرمان- وفات اردیبهشت ۱۳۹۱) ریاضیدان مترجم روزنامه نگار فعال سیاسی ایرانی از چهره‌های ماندگار در عرصه‌ی علم و آموزش ایران است.
دو ویژگی اصلی ریاضیات بر کسی پوشیده نیست و همه با آن آشنا هستیم:
۱) دقت منطقی و نیروی استدلال‌های قیاسی آن که اهمیت آموزشی زیادی دارد. شیوه‌ی درست قانع کردن را می‌آموزد و، در عین حال، ما را وا می‌دارد تا در برابر حقیقتی که برای ما «ثابت» شده است گردن بگذاریم؛ «سفسطه» و «احتجاج» را با «استدلال منطقی» نیامیزیم و از گمراهی‌های ناشی از «تمثیل»، «شبیه سازی» بپرهیزیم و در یک کلام، درست را از نادرست جدا کنیم.
۲) کاربرد بی اندازه‌ی ریاضیات در زندگی، دانش‌های گوناگون و صنعت، که در واقع، بیانگر و روشن کننده‌ی برخی قانون‌های حاکم بر طبیعت و جامعه است و به ما یاری می‌رساند تا، با تسلط نسبی بر این قانون‌ها زندگی انسانی‌تری را تدارک ببینیم و مسیر حرکت آینده‌ی خود را بهتر بشناسیم.
شناخت ما از جهان دور و برمان، بدون یاری ریاضیات، ممکن نیست و، بنابراین، یکی از عامل‌های اصلی و جدی شناخت است. ولی، ریاضیات، خصیصه‌ی دیگری هم دارد که، اهمیت آن به هیچ وجه کمتر از دو خصیصه‌ی آن نیست: ریاضیات، در تمامی حوزه‌ی اندیشه‌ی انسانی به طور کلی و به همه‌ی آن چه به تفکر او مربوط می‌شود، نفوذ می‌کند و تأثیر می‌گذارد و این، همان جنبه‌ی فلسفی ریاضیات است که، ارزش آن، از دیرباز مورد توجه بوده است. به گواهی تاریخ، ریاضیات در آغاز، بخشی از فلسفه بوده است و فیلسوف می‌کوشیده است، دیدگاه‌های فلسفی خود را، به یاری ریاضیات، توضیح دهد. متفکران یونان باستان، ریاضیات را «عصا» و «ستون» فلسفه می‌دانستند. فیلسوف می‌کوشید تا قانون‌های حاکم بر جهان را توضیح دهد و، برای «استدلال های» خود، چاره‌ای جز توسل به ریاضیات نمی‌دید. (شهریاری، ۱۳۶۴،۱۰-۹)
ریاضیات، تنها بازی با فرمول‌ها و شکل‌ها نیست، بلکه با جهان واقعی ما ارتباط دارد و برای شناخت طبیعت و جامعه و قانون مندی‌های حاکم بر آن‌ها، به ریاضیات نیازمندیم. ریاضیات «موجودی» زنده است و مثل هر «موجود زنده ی» دیگری، رشد می‌کند، تکامل می‌یابد، دچار تضاد می‌شود، ولی از میان تضادها، شکوفاتر و نیرومندتر بیرون می‌آید، گذشته را به نحوی «نفی» می‌کند و، سپس با «نفی» دوباره‌ی آن با دیدی تازه‌تر و در سطحی بالاتر، به گذشته باز می‌گردد. در عین حفظ یگانگی خود به اطراف شاخه می‌دواند و در همه جا نفوذ می‌کند، ریشه‌هایی ستبر‌تر و نیرومندتر و تنه‌ای پایدارتر پیدا می‌کند و اثر جدی خود را، چه در طول تاریخ و چه در مجموعه‌ی آگاهی‌های ما (و به طور کلی در شناخت ما) باقی می‌گذارد. (همان منبع، ۱۳-۱۲)
۳-۴۹٫ ژاک سالومون آدامار
ژاک سالومون آدامار(۱۹۶۳-۱۸۶۵) خلاقیت ریاضی و هوش ریاضی با خلاقیت به طور کلی و هوش کلی بی ارتباط نیست. به ندرت اتفاق می‌افتد که در دبیرستان‌ها دانش‌آموزی که در ریاضیات اول است در سایر شاخه‌های آموزش آخر باشد. چنان چه در سطحی عالی ترمسأله را ملاحظه کنیم، درصد بالایی از ریاضیدانان برجسته در سایر حوزه‌ها نیز خلاق بوده اند. (آدامار، ۱۳۶۷، ۱۷)
کلود برنار گفته است «آن‌هایی که به افکار خود بیش از حد وفادارند، برای کشف کردن مناسب نیستند- با قید این احتیاط که معنی این عبارت در ریاضیات با آن چه در علوم تجربی متداول است فرق می‌کند.» دلیل اختلاف بین معانی جمله‌ی کلود برنار در ریاضیات و علوم تجربی این است که در مورد دوم، فکری که زمانی به دست آمده اگر سرسختانه دنبال شود ممکن است منجر به ارتکاب خطا، یعنی رسیدن به نتایج نادرست گردد.
به عکس، در قلمرو ریاضی نیازی به تعمق درباره‌ی خطاها نیست. وقتی ریاضیدانان خوب مرتکب خطا می‌شوند، که مکرر هم می‌شوند، زود می‌فهمند و آن را تصحیح می‌کنند. دلیل این موضوع آن است که هنگامی که مرتکب خطایی می‌شوند، بصیرت- همان حساسیت علمی- به او هشدار می‌دهد که محاسباتش آن طور که باید باشد نیست. (همان کتاب، ۶۳-۶۲)
۳-۵۰٫ دکتر ابوالفضل رفیع پور
استادیار بخش ریاضی دانشکده ریاضی و کامپیوتر دانشگاه شهید باهنر کرمان می‌باشد.وی مقاله‌ای با عنوان چرایی و چگونگی آموزش هندسه در برنامه درسی ریاضی مدرسه‌ای در هشتمین کنفرانس آموزش ریاضی ایران- شهرکرد- تابستان ۱۳۸۵ ارائه کرده است.
بنا به اظهار شاریگین و پروتاسوف،«هندسه مجموعه‌ای از تعریف‌ها و فرمول‌ها نیست.بلکه هندسه، توانایی دید]مشاهده کردن[،تصور کردن و فکر کردن است.»به همین دلیل، آن‌ها معتقدند که هندسه، بیش از آن است که تنها، به عنوان یک شاخه از ریاضی یا یک موضوع درسی در ریاضی مدرسه‌ای مطرح شود و با این باور، دلایل زیر را برای تدریس و آموزش هندسه بر شمرده اند:
هندسه، پدیده‌ای از فرهنگ انسانی است؛
با بهره گرفتن از هندسه، می‌توان اخلاق و اصول اخلاقی را در دانش‌آموزان رشد داد؛
هندسه، ذهن دانش‌آموزان را برای تحصیلات بالاتر آماده می‌سازد؛
هندسه، حس زیبایی شناسی را در دانش‌آموزان توسعه می‌دهد؛
هندسه، تاریخ تفکر انسانی را به خوبی نشان می‌دهد.
به همین دلایل، شاریگین و پروتاسوف مدافع تدریس هندسه در مدارس قرن بیست و یکم هستند و اعتقاد دارند که توانایی‌های بالقوه‌ تربیتی و آموزشی زیادی در هندسه نهفته است که برای پرورش انسان‌ها لازم است. این همان چیزی است که شهشهانی نیز قبلا به آن اشاره کرده بود و در رابطه با تدریس هندسه در دبیرستان، سه دلیل زیر را بر شمرده بود:
الف) هندسه به طور تاریخی، علم فضا و اشکال است و تمام پدیده‌های طبیعی در فضا رخ می‌دهند. بنابراین، هندسه در واقع زمینه‌ی همه‌ی علوم طبیعی است، کل فعل و انفعالات طبیعی در فضای هندسی صورت می‌گیرد و شکل هندسی دارند. بنابراین هندسه به نوعی زبان همه‌ی علوم است.
ب) هندسه اولین علم نظری است. اولین علمی که در آن، یک سری از نتایج براساس تعقل و تفکر از نتایج دیگر گرفته شده است که سابقه اش به ریاضی باستان باز می‌گردد.
پ) هندسه یک زمینه‌ی بسیار خوب برای شناخت و تقویت تخیل و خلاقیت است. مسأله‌ی ارائه‌ اثبات در ریاضی، بیش‌تر به جای آن که روی منطق تأکید داشته باشد، بر روی اکتشاف مصرّ است. اگر به اثبات‌ها در هندسه به عنوان وسیله‌ای برای کشف نگاه کنیم، هندسه وسیله‌ای برای تقویت تخیل و خلاقیت دانش‌آموزان است.
علاوه بر این ها، بی، هندسه را علم مطالعه‌ی فضا و راه‌های نظام واری برای نگاه کردن به فضای پیرامون انسان می‌داند.او اهداف تدریس هندسه در برنامه درسی ریاضی مدرسه‌ای را توسعه‌ی شهود و درک فضایی، توسعه‌ی توانایی تفکر منطقی و پیش نیازی برای سایر بخش‌های ریاضی معرفی می‌کند.ریحانی نیز تأکید کرده است که «هندسه، برای فهم و تعبیر پدیده‌های گوناگون، توسعه پیدا کرده است و بدین جهت، لازم است که تفکر هندسی مورد نیاز برای فهم این پدیده‌ها و چگونگی توسعه‌ی آن‌ها، بررسی شود».(رفیع پور، ۱۳۸۶، ۲۸-۲۷)
۳-۵۱٫ لین آرتور استین
وی مقاله‌ای را تحت عنوان آموزش ریاضی برای دنیای فردا در سپتامبر ۱۹۸۹ در مجله‌ی معروف آمریکایی Educational- Leader Ship به چاپ رسانده است.