امروزه سیستم های کنترل غیرخطی جهت توصیف گستره وسیعی از پدیده های علمی و مهندسی استفاده میشوند. از پدیده های اجتماعی، زندگی و فیزیکی گرفته تا مهندسی و تکنولوژی. تئوری سیستم های کنترل غیرخطی برای طیف وسیعی از مسائل در فیزیک، شیمی، ریاضیات، زیست، پزشکی، اقتصاد و شاخه های مختلف مهندسی بکار گرفته شده است.

تئوری پایداری نقش مهمی در سیستم های مهندسی به ویژه در حوزه سیستم های کنترل و اتوماسیون دارد. پایداری یک سیستم دینامیکی با یا بدون ورودی های کنترلی و اغتشاش یک نیاز اساسی برای مقادیر عملی آن به ویژه در اکثر کاربرد های جهان واقعی محسوب میشود. میتوان گفت پایداری به این معناست که خروجی های سیستم و سیگنال های درونی آن در حدودی قابل قبول محدود باشند (اصطلاحاً پایداری ورودی محدود- خروجی محدود) و یا میتوان گفت خروجی های سیستم به یک حالت تعادل مورد نظر میل کنند (پایداری مجانبی).
مسائل پایدار سازی و کنترل سیستم های غیرخطی از جمله مهمترین مسائل موجود در تئوری کنترل میباشند. تاکاگی و سوگنو (T-S) روشی معروف جهت حل این مسئله در ]۱۲[ ارائه کرده اند. روش آنها عبارتست از تبدیل سیستم غیرخطی اولیه به زیر مجموعه های خطی محلی بیان شده با قوانین اگر- آنگاه با بهره گرفتن از روش مدل سازی فازی و پس از آن پیاده سازی روش های طراحی کنترل سیستم های خطی و تولید یک کنترل کننده کننده جبرانسازی توزیع شده موازی (PDC)، به ]۱۴[ مراجعه شود. کنترل کننده حاصل ترکیبی فازی از تمامی کنترل کننده های خطی محلی خواهد بود.
نه تنها پایدار سازی، بلکه عملکرد سیستم حلقه بسته نیز بایستی در یک PDC برای یک مدل فازی T-S یک سیستم غیرخطی اولیه در نظر گرفته شود. بطور خاص، برخی از محققان به طرز موفقیت آمیزی مسئله کنترل تعقیب فازی ^[۴۰] را برای سیستم های غیرخطی در نظر گرفته اند. با بکار گیری این روش ها، روش های کنترلی متفاوتی توسعه داده شده اند بطوریکه سیستم حلقه بسته نهایی پایدار گردد و همچنین معیار خطای تعقیب  به ازای سیگنال های مرجع و محدود کمینه میشود. در بین نتایج متعددی که برای حل این مسئله وجود دارد، چند روش مهم به چشم میخورد که به نظر میرسد جهت کار بر روی مسئله کنترل تعقیب فازی  فیدبک استاتیک مناسب تر میباشند، ]۳[-]۱[. در این نتایج یک کنترل کننده محلی اگر- آنگاه مبتنی بر مشاهده گر^[۴۱] و یک الگوریتم دو مرحله ای جهت یافتن بهره کنترل کننده ها و مشاهده گرها ارائه شده است.
علیرغم موفقیت روش های ذکر شده در بالا، همچنان مشکلاتی جهت پرداختن به آنها وجود دارد. برای سیستم های غیرخطی که پس از مدل سازی فازی T-S، با تعداد زیر سیستم های خطی اگر- آنگاه زیادی مواجه میشویم، کنترل کننده نهایی حاصل از روش های بالا بسیار پیچیده خواهد بود و پیاده سازی عملی آن محدود و گاها” غیرممکن خواهد شد.
از سوی دیگر، بکار گرفتن کنترل کننده های فیدبک استاتیک خروجی^[۴۲] (SOF) برای مسائل مختلف در حوزه سیستم های فازی برای بسیاری از محققان مورد علاقه بوده است. سادگی در پیاده سازی عملی کنترل کننده های SOF انگیزش اصلی فعالیت در این زمینه میباشد. با اینحال، طراحی این دسته از کنترل کننده ها بسیار پیچیده تر از کنترل کننده های فیدبک خروجی رتبه کامل^[۴۳] معمولی میباشد.
در ادامه به ارائه پاسخی برای مسئله کنترل تعقیب فازی  از طریق انتخاب یک ساختار کنترل کننده SOF خواهیم پرداخت.

1. 1. طراحی کنترل کننده

در این بخش به ارائه یک روش مبتنی بر LMI-LME جهت طراحی کنترل کننده SOF برای نیل به تعقیب فازی  برای سیستم های غیرخطی توصیف شده با مدل تاکاگی- سوگنو T-S خواهیم پرداخت. تاکاگی و سوگنو یک مدل دینامیکی فازی به منظور به نمایش درآوردن یک سیستم غیرخطی بوسیله درون یابی تکه ای چندین مدل محلی خطی به واسطه توابع عضویت ارائه نمودند. هر مدل خطی در حقیقت توسط یک قانون اگر- آنگاه بیان میشود. اکنون ما یک سیستم غیرخطی را که میتوان آنرا توسط مدل فازی T-S زیر توصیف کرد در نظر میگیریم:

• • قانون شماره i سیستم:

اگر  و …  باشند. آنگاه:
(۴-۱)
که در رابطه فوق  مجموعه فازی بوده و  تعداد قوانین مدل میباشد. همچنین  بردار حالت،  ورودی کنترلی،  خروجی اندازه گیری شده،  به همراه  و  ماتریس های فضای حالت سیستم و  و…  متغیر های مفروض شناخته شده میباشند. همچنین  اغتشاش خارجی کران دار بوده و  نویز اندازه گیری کران دار است. با بهره گرفتن از فرایند غیرفازی سازی، سیستم فازی کلی را میتوان به فرم زیر نوشت:
(۴-۲)
که در آن داریم:

میزان تعلق نسبی  را به  مشخص میکند.
اکنون یک مدل مرجع را بصورت زیر در نظر میگیریم:
(۴-۳)
که در آن  بردار حالت مرجع بوده،  یک ماتریس پایدار مجانبی را مشخص میکند و  بردار خروجی میباشد و همچنین  ورودی مرجع کران دار میباشد. فرض بر اینست که  برای تمامی زمان های  یک خط سیر مطلوب برای  را به نمایش میگذارد. اکنون عملکرد تعقیب  مربوط به خطای تعقیب،  ، را بصورت زیر در نظر میگیریم:
(۴-۴)
که در آن  زمان پایان کنترل است،  یک ماتریس وزن دهی^[۴۴] نیمه معین مثبت مشخص میباشد و  برای تمامی اغتشاشات خارجی  ، نویز اندازه گیری  و سیگنال مرجع  و همچنین  سطح تضعیف^[۴۵] تعیین شده میباشد. مفهوم فیزیکی رابطه (۴-۵) آنست که تأثیر هر  بر روی خطای تعقیب  بایستی تا میزانی کمتر از سطح مطلوب  تضعیف گردد.
اکنون به منظور حصول چنین عملکردی اقدام به تعریف کنترل کننده فیدبک استاتیک خروجی زیر مینماییم:

• • قانون کنترل شماره j:

اگر  و …  ، آنگاه:
(۴-۵)
اکنون چنانچه ما قانون کنترلی (۴-۶) را به سیستم (۴-۲) اعمال کنیم سیستم حلقه بسته زیر بدست می آید. برای سادگی از  به جای  استفاده میکنیم.
(۴-۶)
که در آن داریم:

و همچنین خواهیم داشت:
(۴-۷)
که در آن داریم:

• • تعریف ۴-۱

سیستم فازی T-S (4-2)، مدل مرجع (۴-۳) و عملکرد تعقیب  (۴-۴) را در نظر بگیرید. قانون کنترلی (۴-۵) یک قانون کنترلی فیدبک استاتیک خروجی برای نیل به تعقیب فازی  میباشد، چنانچه (۴-۲) را پایدار سازد و (۴-۴) را برآورده نماید.

• اصل ۴-۱